LeetCode의 Product of Array Except Self 문제를 함께 풀어보도록 하겠습니다.
문제
정수 배열 nums가 주어졌을 때, 다음 조건을 충족하는 products 배열을 반환하는 함수를 작성해라.
”products[i]에 저장되어 있는 정수는 nums[i]를 제외한 배열 내의 모든 정수를 곱한 값과 일치해야 한다.”
예제
- 입력
nums = [2, 3, 4, 5]- 결과
[60, 40, 30, 24]풀이 1
먼저 주어진 예제를 통해 문제를 정확히 이해하고 넘어가겠습니다.
우선 인덱스가 0일 때를 생각해볼까요?
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2, 3, 4, 5인덱스 0에 위치한 1을 제외한 배열 내의 모든 정수를 곱해보면, 3 * 4 * 5 = 60입니다.
아, 그래서 결과 배열에서 인덱스 0에는 60이 저장되야 하는군요.
다음 인덴스가 1일 때를 생각해보겠습니다.
_
2, 3, 4, 5인덱스 1에 위치한 2를 제외한 배열 내의 모든 정수를 곱해보면, 2 * 4 * 5 = 40입니다.
따라서 결과 배열의 인덱스 1에는 40이 저장되어 있네요.
이 과정을 나머지 인덱스 2과 3에도 반복을 해볼까요?
- index = 2:
2 * 3 * 5 = 30 - index = 3:
2 * 3 * 4 = 24
지금까지의 사고 과정을 이중 루프를 통해서 다음과 같이 구현할 수 있습니다.
단순하게 외부 for 문과 내부 for 문의 인덱스가 다를 때만 해당값을 곱해주기만 하면 됩니다.
여기서 결과 배열의 값을 1로 초기화하는 이유는 1은 곱해도 결과값에 영향을 주지 않기 때문입니다.
class Solution:
def productExceptSelf(self, nums: List[int]) -> List[int]:
products = [1] * len(nums)
for i in range(len(nums)):
for j in range(len(nums)):
if i != j:
products[i] *= nums[j]
return products이 풀이의 시간 복잡도는 이중 루프로 인해서 O(n^2)이 되며, 공간 복잡도는 결과 배열을 제외하면 O(1)이 됩니다.
이 알고리즘은 입력 배열의 크기가 커지면 커질수록 성능이 현저하게 떨어질 것입니다.
풀이 2
위 풀이를 돌아보면 반복되는 곱셈 연산이 상당히 많다는 것을 알 수가 있는데요. 이 반복되는 곱셈 연산을 줄일 수 있다면 성능을 크게 향상시킬 수 있을 것 같습니다.
결과 배열을 구하는 수식을 한 번 일반화 시켜보면 어떨까요?
nums[0] x nums[1] x ... x nums[i - 1] x nums[i + 1] x ... x nums[n - 2] x nums[n -1]자 그럼, 여기서 우리는 이 수식이 크게 2개의 부분으로 나누어진다는 것을 알 수 있습니다.
첫 번째 부분은 해당 인덱스 앞에 있는 정수들의 곱입니다. 이 영역의 크기는 결과 배열에서 인덱스가 커질 수록 커지게 되겠네요.
nums[0] x nums[1] x ... x nums[i - 1]두 번째 부분은 해당 인덱스 뒤에 있는 정수들의 곱입니다. 이 영역의 크기는 결과 배열에서 인덱스가 커질 수록 반대로 작아지게 되겠네요.
nums[i + 1] x ... x nums[n - 2] x nums[n -1]이렇게 두 부분으로 생각을 해보면 어떻게 이전 단계에서 한 곱셈 결과를 다음 단계에서 재활용할 수 있을지가 보이는 것 같습니다.
배열을 한 번은 왼쫀에서 오른쪽으로, 다른 한 번은 오른쪽에서 완쪽으로 스캔을 하면서 누적 곱셈을 하면 된텐데요.
이게 도대체 무슨 말인지 예제 배열 [2, 3, 4, 5]을 기준으로 한 번 설명해보겠습니다.
먼저 각 인덱스 기준으로 배열 내에서 앞에 위치한 값들을 누적해서 곱해나가 볼께요.
- i = 0:
1 = 1 - i = 1:
1 x 2 = 2 - i = 2:
1 x 2 x 3 = 6 - i = 3:
1 x 2 x 3 x 4 = 24
이번에는 각 인덱스 기준으로 배열 내에서 뒤에 위치한 값들을 누적해서 곱해나가 볼께요.
- i = 3:
1 = 1 - i = 2:
1 x 5 = 5 - i = 1:
1 x 5 x 4 = 20 - i = 0:
1 x 5 x 4 x 3 = 60
마지막으로 각 인덱스에 해당하는 누적 곱을 다시 곱해보면❓
- i = 0:
1 x 60 = 60 - i = 1:
2 x 20 = 40 - i = 2:
6 x 5 = 30 - i = 3:
24 x 1 = 24
이렇게 최종적으로 원하는 배열을 얻을 수가 있습니다❗
이 알고리즘을 코드로 한번 구현해볼까요?
class Solution:
def productExceptSelf(self, nums: List[int]) -> List[int]:
before = [1] * len(nums)
for i in range(len(nums) - 1):
before[i + 1] = before[i] * nums[i]
after = [1] * len(nums)
for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
after[i - 1] = after[i] * nums[i]
products = []
for l, r in zip(before, after):
products.append(l * r)
return products이 풀이의 시간 복잡도는 중첩없이 루프를 3번 순차적으로 돌고 있기 때문에 빅오 계산법에 따르면 O(3n) = O(n)이 됩니다.
반면에 공간 복잡도는 결과 배열뿐만 아니라 입력 배열의 길이와 동일한 두 개의 배열을 추가적으로 사용하고 있기 때문에 O(2n) = O(n)이 되겠습니다.
풀이 3
두 번째 풀이에서 시간 복잡도는 크게 향상되었지만 공간 복잡도가 증가한 부분이 조금 아쉬운데요. 같은 알고리즘을 조금 더 적은 메모리를 사용해서 구현할 수 없을까요?
좀 더 고민해보면 모든 인덱스에 대한 누적 곱셈 결과를 배열에 저장해놓을 필요가 없다는 것을 깨닫게 되는데요. 왜냐하면 변수 하나를 재사용하면서 곱셈 결과를 계속해서 덮어써도 무방하기 때문입니다.
class Solution:
def productExceptSelf(self, nums: List[int]) -> List[int]:
products = [1] * len(nums)
before = 1
for i in range(len(nums) - 1):
before *= nums[i]
products[i + 1] *= before
after = 1
for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
after *= nums[i]
products[i - 1] *= after
return products이렇게 공간 최적화를 해주면 공간 복잡도가 결과 배열을 제외하였을 때 O(1)로 떨어지는 것을 알 수 있습니다.
마치면서
동일한 문제를 이중 루프로도 풀어보고 여러 개의 순차 루프로도 풀어보았는데요. 이렇게 반복문을 어떻게 사용하느냐에 따라서 알고리즘의 성능에 큰 차이를 가져올 수 있다는 점을 항상 유념하시기 바랍니다.